MATRICES
1. DEFINICIÓN
Es el
ordenamiento de elementos en fila y columna encerrado por paréntesis o
corchetes
ORDEN DE
UNA MATRIZ: Es la multiplicación indicada del número de filas y columnas de una
matriz por ejemplo tenemos este matriz A :
El orden de la matriz es 2x3 es 6.
2.
MATRICES ESPECIALES
2.1.
MATRIZ CUADRADA: Es aquella donde la
filas y columnas son iguales
La traza de una matriz: Se
llama a la suma de los elementos de la diagonal principal
Traz (A) = 2+1+5
2.2. MATRIZ DIAGONAL: Es aquella matriz cuadrada donde al menos un elemento de la diagonal principal no es cero y demás son todos ceros.
2.3.
MATRIZ ESCALAR: Es aquella matriz
diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a un número
distinto de cero.
2.4.
MATRIZ IDENTIDAD: Es aquella matriz escalar donde
todos los elementos diagonales principales son iguales a uno.
2.5. MATRIZ TRIANGULAR: Es aquella donde todos los elementos a un lado de la diagonal principal son ceros y al lado opuesto al menos uno no es cero.
2.6. MATRIZ NULA: Es aquella donde todos los elementos son ceros.
2.7.
MATRIZ FILA: Es aquella matriz de una sola fila
2.8. MATRIZ COLUMNA: Es aquella matriz de una sola columna
3.
IGUALDAD DE MATRICES:
Sea A=
(aij)mxn y B= (bij)mxn Decimos que las matrices A y B son iguales si Ɐ: aij=bij
4.
OPERACIONES CON MATRICES:
4.1.
OPERACIONES CON MATRICES: Sea las matrices A= (aij)mxn y B= (bij)mxn Definimos
la suma de matrices A y B como:
A+B= ( aij+bij)mxn
Ejemplo: Sea la matiz A y B , hallar la suma de matrices A+B
4.2.
MULTIPLICACION DE MATRICES
4.2.1.
MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Si multiplicamos a una matriz por una escalar, cada elemento de la matriz
queda multiplicado por dicho escalar.
Ejemplo: Tenemos una matriz A multipliquemos por un escalar
(-2).
4.2.2.
MULTIPLICACION DE UNA FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA
Se las matrices:
Definimos: A.B = {a1.b1+ a2.b2+
a3.b3+ ………. an.bn}
4.2.3.
MULTIPLICACION DE DOS MATRICES
Dada las matrices A= (aij)mxr y B= (bjk)rxn definimos una matriz A.B = (Cik)mxn donde el elemento Cik se calcula multiplicando la i-esima
fila de A por la k-esima columna B.
Ejemplo: Tenemos las siguientes matrices
C11= 1*1+3*5=16
C12= 1*2+3*3=11
C13=1*7+3*1=10
C21=2*1+5*3=17
C22=2*2+3*3=13
C23=2*7+3*1=17
Teoremas:
Sea A, B y C matrices para las cuales están definidas las operaciones de
adicion y multiplicación, k y r son escalares.
a.- k( A+B)= kA+kB
b.- (k+r)A= kA+rA
c.- k.(r.A)=(k.r).A
d.- A.(B.C)= (A.B).C
e.-A(B+C)=AB+AC
f.-AB =0 , no implica que A=0 y B=0
g.- AB=AC no implica que B=C
4.2.4.
POTENCIA DE MATRICES
Sea A una matriz cuadrada y n
pertenece a N, definimos:
Ejemplo:
4.3. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
La transpuesta de una matriz A denotada por At
se obtiene transformando, todas sus filas en columna.
Ejemplo:
Teoremas:
a.- (A+B)t= At+Bt
b.- (A-B)t= At-Bt
c.- (At)t=
A
d.- (kA)t= kAt, donde k es
escalar
e.- (A.B)t= Bt.At
5.
MATRIZ SIMETRICA
Es aquella matriz cuadrada A que cumple con la propiedad.
(A)t= A
Ejemplo: Sea la matriz A
6.
MATRIZ ANTISIMETRICA
Es aquella matriz cuadrada A que cumple la
propiedad
(A)t= -A
DETERMINATES
1. DEFINICIÓN: La determínate es una función que aplica a una matriz cuadrada la transforma
en un escalar.
Notación: lAl o Det(A)
2. CALCULO DE UNA
DETERMINATE
2.1. MATRIZ DE ORDEN UNO
A= (a11) lAl = a11
Ejemplo:
A= (5) lAl =5
2.2. MATRIZ DE ORDEN DOS
lBl = a11. a22 - a12. a21
Ejemplo: Hallar el det (B)
lBl
= 1x3-2x3 = 3-6 =-3
2.3. MATRIZ DE ORDEN TRES
Si tenemos la matriz A
Entonces:
lAl = a11. a22. a33+ a12. a23. a31+ a13. a32. a21 - a31. a22. a13 - a21. a12. a33 - a11. a32. a23
2.4. REGLA PRACTICADE
SARRUS
Entonces:
LAl = a11.
a22. a33+ a12. a23. a31+
a13. a32. a21 - a31. a22.
a13 - a21. a12. a33 - a11.
a32. a23
Ejemplo: Sea la matriz
lAl =
1x3x5+5x8x2+-2x-1x2-(2x3x-2+2x8x1+5x-1x5)
lAl =
15+80+4-(-12+16-25) =99-(-21) =120
Teorema
lA.Bl =
lAl. LBl
lAtl = lAl
lk.Al =
kn.lAl, donde A=(aij)nxn k
es escalar
3. MENORES
COMPLEMENTARIOS
Se emplea generalmente para hallar
determinantes de mayor orden o igual a tres
Procedimiento:
-
Se elige la fila o columna de
mayor cantidad de cero
-
Se toma los menores complementarios
de cada elemento de la fila o columna elegida con su respectivo signo de
acuerdo a la regla
Signo = (+) si i+j es par
(-) si i+j es impar
Donde i+j son las ubicaciones de la fila y columna, respectivamente del
elemento.
Ejemplo:
Dada la matriz A, calcule la determínate de A.
MATRIZI NVERSA Y POLINOMIO CARACTERISTICO
1. TEOREMA:
Una matriz cuadrada A es no
singular si solo si lAl ≠ 0, en caso contrario se dirá,
se dirá que es una matriz singular.
2. MATRIZ INVERSA
-
Sea un matriz cuadrada no
singular
- Si existe una única matriz B cuadrada del mismo orden tal que AB= BA = I , entonces definimos a B como matriz inversa de A , lo denotamos así A-1
3. OBTENCION DE LA MARIZ INVERSA (METODO DE GAUSS-JORDAN)
METODO DE GAUSS-JORDAN: Sea la matriz
cuadrada de A no singular y la matriz identidad I del mismo orden que A.
Construimos la matriz ampliada (A: I), donde por operaciones elementales solo
por filas debe obtenerse una nueva matriz ampliada de la forma (I:B)
concluyendo que B=A-1
3.1. OPERACIONES ELEMENTALES
Se llama operaciones elementales por
filas o columna sobre una matriz a lo siguiente:
- Intercambio
de dos filas o columnas
- Multiplicacion
de una fila o columna por un escalar o nulo
- Sumar a un afila o columna el múltiplo de otra fila o columna
Ejemplo:
Sea la matriz A, hallar la matriz inversa de A
Solución:
La matriz inversa
de lo denotamos A-1
Si tenemos la matriz A es simetrica tal como se muestra en la grafica, hallar el valor de +X2 +Y2 +Z2
SOLUCION:
Si tenemos la matriz B, hallar la traza (A.At)
SOLUCION:
Si se cumple la siguientre matriz, hallar el valor de x
SOLUCION:
Tenemos el siguiente matriz y se cumple AB=BC, hallar a+c
SOLUCION
Dado la matriz A, hallar la traza de la matriz inversa de A
SOLUCION
